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高考数学知识点:二次函数

时间:2017-8-12 来源: 家教网 点击:

 高考数学知识点:二次函数 I.定义与定义表达式


一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:


y=ax^2+bx+c


(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)


则称y为x的二次函数。


二次函数表达式的右边通常为二次三项式。


II.二次函数的三种表达式


一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)


顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]


交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]


注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:


h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a


III.二次函数的图像


在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,


可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。


IV.抛物线的性质


1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线


x=-b/2a。


对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。


特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)


2.抛物线有一个顶点P,坐标为


P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)


当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。


3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。


当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。


|a|越大,则抛物线的开口越小。


4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。


当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;


当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。


5.常数项c决定抛物线与y轴交点。


抛物线与y轴交于(0,c)


6.抛物线与x轴交点个数


Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。


Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

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